LÓGICA
SaMun

1. Fin y concepto de la lógica

Bajo el titulo de l. se presentan esfuerzos muy diversos en la historia del espíritu occidental: la silogística aristotélica; el arte de disputar en la -> escolástica; la l. transcendental en la Crítica de la razón de Kant; la l. dialéctica de Hegel; la lógica matemática de nuestros días. Esta amplitud en el uso del término puede unificarse entendiendo la l. como una parte preeminente del habla racional, parte que — también en sus ramificaciones — es posible fundamentar a base de una reflexión general sobre el lenguaje racional como dotado de sentido.

Puesto que nuestro hablar en general tiende a ser entendido, digamos que en principio un lenguaje es racional cuando, prescindiendo de las dificultades inherentes a un individuo o a un grupo, todos (los capacitados para ello) pueden controlar su significación y ver su «legitimidad», es decir, cuando en principio puede enseñarse a todos y todos pueden aprenderlo. Para crear esa posibilidad general (en principio asequible a todos) de enseñar y aprender el lenguaje, es necesario superar la vaguedad en el uso cotidiano de las palabras — con relación al fin del habla en cuestión — mediante normas suficientemente claras y explícitas. Lo cual puede hacerse por el hecho de que: a) se «convenga» explícitamente en el uso de cada palabra, aduciendo con frecuencia ejemplos del uso recto y del falso; b) se den normas para el empleo de tales palabras en las frases según el fin de la locución (p. ej., pregunta, afirmación, mandato); c) se elaboren procedimientos con los que sea posible decidir si una frase se dice recta o falsamente.

Como hasta ahora han sido sobre todo las ciencias las que han exigido un lenguaje sometido a normas, en consecuencia ese tipo de regulación se ha reducido principalmente a este tipo de frases: «Pedro es un hombre»; «si desciende la temperatura, baja el termómetro», etc.; es decir, se ha reducido a los enunciados. En la investigación, p. ej., de mandatos, por lo menos hasta ahora no se ha podido llegar a sugerencias uniformes. Esto puede afirmarse también acerca de frases formadas con palabras como «posible», «real» (o vocablo equivalente) y «necesario», es decir, acerca de la l. modal. Por eso aquí sólo expondremos las investigaciones relativas a enunciados sin ninguna caracterización modal.

Mientras que a) y b) pueden presuponerse en la edificación de una l. como trabajos ya realizados, en cambio c) es la tarea de la l., y por cierto en el sentido limitado de que el procedimiento ofrecido por ella para decidir sobre la legitimidad de un enunciado es independiente de la materia del mismo, o sea, es independiente del campo de objetos al que se refieren las palabras introducidas en los ejemplos. L. es según esto la doctrina sobre la legitimidad de frases reguladas (enunciados), en cuanto esta legitimidad puede determinarse con independencia de la «materia» (cf. antes) de tales frases (enunciados).

2. Lógica formal y no formal (transcendental)

En el lenguaje regulado podemos ante todo distinguir dos clases de palabras: las que designan inconfundiblemente a una sola persona o cosa, o un solo suceso, es decir, un objeto; las usadas de tal manera que se afirman de algunos objetos y se niegan de otros, con lo cual sirven, por así decir, para «dividir el mundo». Entre el primer tipo de palabras se hallan los nombres propios (cumplen la misma función las expresiones compuestas que sirven para caracterizar, p. ej., «la capital de Francia»; y también las alusiones a un nombre propio); la segunda clase de palabras son los predicados o predicadores.

Los enunciados más simples consisten en que un predicado se afirma o se niega de uno o varios objetos, representados por uno o varios nombres propios (o caracterizaciones). Si el predicado se afirma o se niega de un solo objeto (esa es la forma abreviada de hablar), entonces es monádico; p. ej., «ser hombre»: «Pedro es un hombre.» Si se afirma o se niega de varios objetos es eneádico; «prometer» es triádico en: Pedro promete este libro a Francisco». Las frases donde se afirma o se niega exactamente un predicado son enunciados elementales.

Puesto que la l. no se preocupa de la «materia» de los enunciados, no hace falta escribir las palabras que significan determinados objetos o que se afirman o niegan de ellos. En lugar de los nombres propios (o de las caracterizaciones) y de los predicados se ponen signos, los cuales significan que ellos pueden ser sustituidos por cualesquiera nombres propios o predicados, quedando siempre a salvo que nombres propios sean sustituidos únicamente por nombres propios, o predicados sean sustituidos solamente por predicados con el mismo valor de relator. Además la afirmación se simboliza también con un signo propio, p. ej., e, y la negación con e'. Mediante esa simbolización del enunciado sacamos una forma de enunciado; p. ej., del enunciado «Pedro es un hombre» la forma de enunciado «s e P», y del enunciado «Pedro promete este libro a Francisco» la forma de enunciado « s1, s2 s3 e P». Y además aquí los números en el signo «s» del nombre propio indican que en los objetos representados se trata de tres relaciones diferentes con el predicado, prescindiendo de cómo están determinadas estas relaciones en cada caso particular.

Como «s» y «P» indican que estos signos pueden substituirse por cualesquiera nombres propios o predicados, se llaman también «variables». La cópula, en cambio, que es el signo para la afirmación o la negación de los predicados, no indica que en su lugar puede ponerse cualquier otra palabra, sino que representa la ejecución de una operación lingüística. Hay además otras operaciones lingüísticas que no deben realizarse — como la afirmación y la negación de un predicado — dentro de un enunciado elemental o de una forma elemental de enunciado, sino que, o bien enlazan enunciados o formas de enunciados: los conectores «y», «o», «si», «no»; o bien cualifican un campo de objetos de los que se afirma o niega un predicado: los cuantificadores «para todos» y «para uno por lo menos». Los conectores y los cuantificadores reciben el nombre de partículas lógicas.

Puesto que la l. quiere determinar cuándo un enunciado es afirmado recta o falsamente, sin tener en cuenta las diversas clases de objetos sobre los que se hacen afirmaciones; en consecuencia ella investiga las formas de enunciados, y por cierto, o bien las formas elementales de enunciados, o bien aquellas otras que se componen de formas elementales de enunciados. En el primer caso la l. sería la doctrina de la afirmación o negación de un predicado, en cuanto para ello no es necesario que se conozca el predicado mismo, o sea, la doctrina de la cópula (de su recto uso). Esta l. podría llamarse «l. transcendental». En todo caso, así podría reconstruirse críticamente la doctrina de Kant sobre «las condiciones de la constitución del objeto a priori». Un «objeto» surge pan Kant por el hecho de que se afirma o niegr de él (por lo menos) un predicado. Y st puede tratar a priori acerca de tal «consti tución del objeto», cuando la investigaciót no depende del conocimiento de los predi cados considerados.

En el segundo caso la l. sería la doctrine de cómo se puede pasar de una forma de enunciado a otra, o sea, de cuándo una for. ma de enunciado implica otra. Pues cm( esta l. considera los enunciados elementales como ya legitimados firmemente, ella na investiga la legitimidad de una forma dt enunciado de cara a la rectitud con que se afirma o se niega un predicado, sino que la investiga en dependencia de la legitimidad de otra forma de enunciado. Y así es la doctrina sobre la implicación de las formas de enunciados, o bien, puesto que e] tránsito de una forma de enunciado a otra se regula por las partículas lógicas, es la doctrina de las partículas lógicas (de su recta uso). Dado que en su investigación prescinde completamente de la «materia» de Ios enunciados y, a diferencia de la l. no formal e transcendental, ni siquiera investiga la afirmación o negación de predicados en general (a manera de «materia general»), recibe el nombre de «l. formal».

Como todas las frases pueden construirse a base de enunciados elementales y de partículas lógicas, ambos tipos de lógica investigan la legitimidad de todas las sentencias reguladas, en cuanto eso puede hacerse sin conocimiento de la legitimidad de determinados enunciados («a priori»). Por el análisis lógico las frases formuladas en las ciencias, en la filosofía, en la teología e incluso en el lenguaje corriente, son reducidas a una forma regulada, de manera que aparezca clara su estructuración a base de enunciados elementales y partículas lógicas.

3. Las partículas lógicas

Como ejemplos escolares de implicaciones lógicas valen todavía hoy los silogismos aristotélicos. Aristóteles estudió las sentencias: todos los P son Q; algunos P son Q; ningún P es Q; no todos los P son Q; y las estudió con el fin de sacar consecuencias de ellas. Pero todas estas sentencias no son enunciados elementales. En efecto, usan ya las partículas lógicas sin haberlas introducido explícitamente; y así exigen una inteligencia intuitiva de las mismas. Pero precisamente el recurso a la intuición ha de evitarse por la regulación clara de nuestro lenguaje. Pues todo recurso de ese tipo nuevamente traería consigo el peligro de que nuestro lenguaje oscilara en lo incontrolable. Por esto, en primer lugar ha de realizarse la introducción de las partículas lógicas, para sacar luego consecuencias en virtud de tal introducción.

La introducción actualmente más usual de partículas lógicas se hace con ayuda de la tabla de verdad. Los enunciados elementales son considerados exclusivamente bajo el aspecto de su valor veritativo, es decir, todos los enunciados elementales son divididos en «verdaderos» y «falsos», sin que se exija una inteligencia de lo «verdadero» y de lo «falso». En lugar de «verdadero» y «falso» también se puede, p. ej., atribuir los valores «0» y «1» a esos enunciados. Si consideramos, p. ej., dos enunciados elementales a y b, y a su unión le atribuimos determinadas distribuciones de valores veritativos, o sea, sus funciones de verdad, entre las 16 distribuciones posibles obtendremos también las dos siguientes:

 a b   a "y" b a "o" b
 V V   V V
 V F   F V
 F V   F V
 F F   F F
       

Estas dos uniones, «VFFF» y «VVVF», caracterizadas por sus funciones de verdad (debiendo notarse que, si está fijado el orden en que se presentan los valores veritativos V y F para los enunciados elementales a y b, basta con indicar la función de verdad para caracterizar un enlace), pueden interpretarse como conexiones mediante las partículas «y», «o». Las partículas «y» (la «conjunción») y «o» (la «disyunción»), por esta introducción, han recibido un sentido exacto, que ha podido establecerse sin referencia alguna al uso cotidiano del lenguaje.

Mediante este método de las tablas de verdad se pueden introducir todos los conectores; mas para los cuantificadores se presentan dificultades. Ciertamente, cuando el cuantificador universal «en todos los objetos es el caso que» se refiere a un ámbito limitado de objetos, se podría introducir este cuantificador por el hecho de que, si se trata de n objetos, se formarán n enunciados enlazados con «y». Se podría concebir así el cuantificador universal como abreviación del uso repetido (un determinado número de veces) de la conjunción. De modo semejante el cuantificador particular «al menos para un objeto es el caso que», cuando se refiere a un ámbito limitado de objetos, podría concebirse como abreviación del uso repetido (un determinado número de veces) de la disyunción. Pero cuando el número de los objetos no es finito, como, p. ej., los números naturales en la aritmética, los cuantificadores ya no pueden definirse por el uso repetido de la conjunción o de la disyunción. Pues semejante definición debería afirmar la existencia de una expresión ilimitadamente larga, formada con conjunciones o disyunciones. Ahora bien, una expresión ilimitadamente larga no existe.

Para superar esta dificultad P. Lorenzen propone que las partículas lógicas sean concebidas como determinadas operaciones que pueden introducirse en el diálogo regulado independientemente de la «materia» de los enunciados (y así se introducirían desde la «situación dialogística» de nuestro hablar, que intenta forjar la decisión acerca de si eso se hace recta o falsamente a base de ponderaciones en medio de la pregunta y la respuesta). La conjunción se introduce ad: un proponente afirma la unión «a * b». «*» recibe su sentido como conjunción por los rasgos del diálogo que se suscitan en virtud de esa afirmación. El «oponente» puede preguntar tanto por la parte izquierda de la afirmación, por «a», como por la parte derecha de la misma, por «b». Si el proponente puede defender las dos partes de la afirmación, sale vencedor en el diálogo, y entonces afirma legítimamente «a "y" b». La disyunción es introducida por el hecho de que el oponente, después de la afirmación «a * b» por el proponente, sólo puede poner en tela de juicio la afirmación en su totalidad, pero debe dejar al proponente la elección de la parte de su afirmación que él quiere defender. Si puede defender una parte de su afirmación — según su elección —, afirma justamente «a "o" b». Ambos diálogos pueden representarse en el esquema de la col. siguiente.

 oponente    proponente
 aaa
 ¿izquierda?
 ¿derecha?
 

   a "y" b
   a
   b

     

Mediante esta forma «operativo-dialogística» de introducción de partículas lógicas se evita la dificultad de tener que afirmar la existencia de una expresión ilimitadamente larga. El cuantificador particular «para uno sólo» se define por el hecho de que se deja al proponente la elección del objeto acerca del cual él quiere sostener su afirmación; y el cuantificador universal se define por el hecho de que corresponde al oponente la elección de los objetos acerca de los cuales el proponente ha de defender su afirmación.

Tanto en el método de las tablas de verdad como en el del diálogo, las partículas lógicas están definidas por determinadas operaciones esquemáticas. Decimos «esquemáticas» porque para su introducción no se exige unir un sentido a los signos con que se opera. El signo se requiere tan sólo para introducir unívocamente una operación como ésta determinada. Una vez que se han introducido partículas lógicas mediante determinadas operaciones, entonces estas operaciones pueden concebirse como reglas para construir figuras. Y, a este respecto, ciertas figuras fundamentales, que son los axiomas, compuestas de los signos para los enunciados elementales y de las partículas lógicas, están dadas como principios de ese operar. Tales reglas para la construcción de figuras se llaman un cálculo. Por el hecho de que se usa la definición de las partículas lógicas para la definición de un cálculo, se posee -un procedimiento sistemático para controlar — de acuerdo con la definición de las partículas lógicas — la formación correcta de formas de enunciados, o para crear las formas mismas de enunciados.

Al cálculo que contiene también las operaciones por las que se definen los cuantificadores como reglas para la construcción de sus figuras, se le puede llamar cálculo de cuantificadores, en contraposición al cálculo de conectores, que contiene solamente las operaciones por las que se definen éstos. Ahora bien, se pone de manifiesto que parael cálculo de cuantificadores no hay ningún procedimiento por el que, respecto de toda forma de enunciado, sea posible decidir si en el cálculo puede o no deducirse de sus principios: los axiomas (principio de indecidibilidad de A. Church, 1936).

4. La cópula

Según lo dicho sobre la l. transcendental, es tarea de ésta determinar la legitimidad de la afirmación o negación de un predicado, o bien, regular el uso de la cópula, sin exigir para ello el conocimiento del predicado. Pero si ha de determinarse en general la legitimidad de la afirmación o negación de un predicado, con ello se concede que los enunciados no pueden hacerse arbitrariamente, según el capricho individual. Más bien, la legitimidad de una afirmación presupone la superación de los propios deseos, condicionados por el individuo o por el grupo (si bien tales deseos, después de una investigación o argumentación crítica, pueden aparecer como legítimos). Este postulado de la «superación de la subjetividad» (como se podría formular en términos tradicionales), el cual, expresado positivamente, contiene la exigencia de mostrar la legitimidad de todas las afirmaciones propias — a base de investigaciones adecuadas o de (y de) disputas —, se halla al principio de toda l. Con lo cual la l. misma queda fundamentada éticamente o, como Kant diría, «se halla bajo el primado de la razón práctica».

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Oswald Schwemmer