AXIOMA
Filosofía
Proviene del griego axioma; su
significado original es dignidad, o sea, lo que tiene valor. En
filosofía tiene dos empleos. A. a secas significa una proposición
especialmente importante, es decir, una proposición de la que dependen
las demás. En cambio, axiología quiere decir estudio de los valores (v.
AXIOLOGÍA; SCHELER).
El a. es una proposición primitiva de un sistema científico, es
decir, una proposición que se admite sin demostración. A partir del
conjunto de a. se deduce rigurosamente todas las restantes proposiciones
del sistema científico. Además de los a. propiamente dichos, el sistema
axiomático consta de términos primitivos y reglas. Los términos
primitivos carecen de definición; a partir de ellos se definen todos los
restantes términos. Las reglas son de dos tipos, las de formación y las
de transformación; éstas a veces también se llaman de inferencia. Las
reglas de formación son como la gramática del sistema científico en
cuestión: nos dicen qué es una proposición significativa dentro del
sistema. Las reglas de transformación o de inferencia nos dicen cómo
obtener o deducir nuevas proposiciones de las proposiciones ya poseídas.
A veces, en vez de a. se habla de «esquemas axiomáticos». Los
esquemas axiomáticos son formas o tipos de proposición primitiva en vez
de ser proposiciones primitivas concretas. En lenguaje más técnico, son
funciones en las cuales aparecen variables. Todas las sustituciones de
variables por constantes en los esquemas axiomáticos producen a. Por
tanto, cada esquema axiomático da un número indefinido de a. concretos.
Postulado a veces se emplea como sinónimo de a. Pero también se da
un sentido más específico a postulado, el de una proposición primitiva
en una área concreta del conocimiento, p. ej., los postulados
geométricos de Euclides.
Pensamiento griego. El desarrollo de la geometría griega coincide
con la actividad de Platón (v.) y Aristóteles (v.) cronológicamente.
Aunque la formalización de la geometría por Euclides es un poco
posterior a Aristóteles, el Estagirita ya conocía el tipo de sistema
geométrico ordenado que parte de unos postulados y que define todo
término que aparece a lo largo del sistema a partir de unos conceptos
iniciales tenidos por intuitivos.
Se dice a menudo que Aristóteles como biólogo se interesaba por lo
cualitativo mientras que Platón y los pitagóricos hacían hincapié en la
importancia de las relaciones matemáticas. Sin embargo, el modelo de la
ciencia que sigue Aristóteles en sus Segundos Analíticos se basa en la
geometría. Aristóteles opinaba que la ciencia debe partir de unos a.
Estos a. serían principios directamente aprehendidos. Se captarían con
más o menos esfuerzo, se formularían más o menos bien; pero una vez
alcanzados serían intuitivamente obvios. Hay una capacidad mental de ver
principios o a. llamada nous o intellectus. En cambio, el relacionar u
ordenar proposiciones una con otra se llama episteme o scientia.
Además de ser mejor conocidos que las demás proposiciones los a.
son causas de las demás proposiciones. Es decir, expresan la razón por
la que todo lo demás ocurre.
Está claro que en la historia no se pueden sentar unos a. de donde
se siga todo lo demás. Por tanto, desde el punto de vista aristotélico
es que la historia no es ciencia. La misma ética y ética política en la
que Aristóteles llevó a cabo valiosas investigaciones empíricas es menos
ciencia que la física, al tratar la ética de decisiones prudenciales que
versan sobre lo singular e inexacto.
Racionalismo. El proyecto de axiomatizar la filosofía no se llevó
a cabo ni en Grecia ni durante la Edad Media. Se buscaban los primeros
principios; se intentaba extraer todas las conclusiones de ellos; la
teología en particular podía parecer axiomática, ya que se procuraba ver
las inferencias de los dogmas revelados; pero no hubo por lo general una
formulación rigurosa de la filosofía según el modelo geométrico.
En cambio, a partir de Descartes (v.), muchos filósofos seguían un
método lo más geométrico posible. Descartes, genio de la geometría
algebraizada, buscaba ideas claras y distintas que tuvieran tanto valor
para fundamentar la filosofía como tienen los postulados de Euclides
para fundamentar la geometría. Tras largas meditaciones Descartes llegó
a la proposición «Cogito ergo sum» (Pienso, luego existo) como base
indudable para su sistema.
Spinoza (v.) tituló su obra principal Ethica more geometrico
demonstrata. Llevó a cabo el proyecto aristotélico de axiomatizar la
filosofía. Es fundamental la definición de la sustancia como «aquello
que es en sí y no precisa de otra cosa para existir». Ya que sólo Dios
es sustancia según semejante definición, Spinoza llegó a conclusiones de
cariz panteísta.
Lógica matemática. Desde hace cien años los lógicos han perseguido
tenazmente la axiomatización de su ciencia, labor que en la Edad Media
se había abordado de modo más bien parcial. La apoteosis de los sistemas
axiomáticos es Principia Mathematica de Whitehead (v.) y Russell (v.).
Allí de unos pocos a. se intenta deducir toda la lógica y la matemática,
porque siguiendo al lógico alemán Gottlob Frege, Whitehead y Russell
creían que la matemática era simplemente una parte de la lógica.
Hubo varias modificaciones posteriores a Principia Mathematica, p.
ej., David Hilbert mostró cómo es posible prescindir de uno de los cinco
a. de la lógica proposicional de Principia Mathematica, que resultó no
ser independiente de los demás.
Lukasiewicz, como resultado de una meditación sobre el Peri
Hermeneias de Aristóteles, describió un sistema en que las
proposiciones, además de verdaderas o falsas, podrían ser
indeterminadas; en términos técnicos construyó una lógica trivalente en
vez de bivalente. Autores como Post escribieron sobre lógicas de muchos
valores veritativos, es decir, polivalentes. Otros lógicos
experimentaron con sistemas que no incluían el concepto de negación.
Con todo esto se modifica el mismo concepto de a. En el caso de
Principia Mathematica, los a. no son lo que es mejor conocido que las
conclusiones. Las relaciones matemáticas, p. ej., 3+5=8, son mucho más
obvias que la definición de número o las proposiciones acerca de
conjuntos. Asimismo el principio de no contradicción es más evidente que
el llamado principio de sumación, aunque formalmente el principio de
nocontradicción no es axiomático, sino derivado en Principia Mathematica.
El a. se ha convertido en un medio de economía intelectual. Se hace una
especie de juego lógico en el que se pretende obtener el mayor número de
conclusiones posibles del menor número de principios posibles.
Posteriormente se construyen sistemas axiomáticos como meros
cálculos. Se pretende ver cuáles son las conclusiones al variar a. Es el
caso de las llamadas lógicas heterodoxas como las polivalentes
mencionadas arriba. Muchos lógicos actuales consideran que tales
cálculos no son lógica sino matemática.
En cualquier caso, se ha abandonado el concepto de que los a.
expresan las causas reales de todo lo que ocurre. Los a. meramente
implican las conclusiones. No las causan. Esto ocurre hasta en las
ciencias naturales, según muchos filósofos de la ciencia, notablemente
los neopositivistas. Actualmente, las leyes físicas son expresiones
matemáticas. Se busca una expresión matemática comprehensiva y sencilla
(v. HIPÓTESIS) que permite prever, pero no se considera que semejante
ley exprese una causa. Incluso se mantiene que los mismos conceptos de
la teoría más general son mecanismos de contabilidad, es decir, nos
permiten organizar todas las leyes descriptivas, que a su vez nos
permiten organizar todos los datos experimentales. Desde el punto de
vista de la lógica formal, se podrían deducir las leyes de la teoría y
los resultados experimentales de las leyes, pero lo que mejor conocemos
son los hechos concretos y lo que peor conocemos son los a. Sistemas
axiomáticos. Hay diversos problemas que surgen en torno al concepto de
sistema axiomático. Estas cuestiones han sido investigadas por el
matemático Kurt Goedel y otros. Estos problemas se resumen en las
cuestiones de completud, decidibilidad, independencia y no contradicción
(también llamada consistencia).
Ya que se pretende organizar toda una área de conocimiento hay que
preguntarse si los a. son suficientes para engendrar todas las
proposiciones verdaderas de esa área. Es decir, si los a. son completos.
Una forma de establecer la completud es inventar un procedimiento
de decisión. Por procedimiento de decisión se entiende un método de
decidir la verdad o falsedad de cualquier proposición dentro del área de
que se trata. En la lógica proposicional hay dos procedimientos
decisorios: el de tablas veritativas y el de fórmulas normales o
canónicas. En cambio, en la matemática hay proposiciones indecidibles,
es decir, proposiciones significativas cuya verdad o falsedad es
desconocida, p. ej., hay una conjetura que afirma que todo número es la
suma de dos números primos. Esto parece cierto para todos los casos que
uno quiera comprobar experimentalmente, pero no hay demostración de la
tesis y, por tanto, carecemos de prueba que excluya que lo contrario
ocurra alguna vez. Cuando el procedimiento de decisión depende de los a.
del sistema en cuestión, como ocurre en el citado método de formas
canónicas, tenemos una garantía de la completud del sistema.
No sólo es necesario engendrar toda proposición verdadera sino que
hay que demostrar que no pueden surgir contradicciones en el sistema, es
decir, que no se puede derribar una proposición y la negación de esa
proposición a la vez. En un sistema donde hay una contradicción,
cualquier cosa resulta demostrable.
Uno de los elementos necesarios para semejante prueba de
nocontradicción es la demostración de independencia de los a. Si los a.
afirman cada uno algo distinto, no se contradicen. Además son económicos
porque no se reducen unos a otros y el sistema se considera elegante.
Para que el sistema sea nocontradictorio hay que demostrar que las
reglas de transformación o inferencia son conservadoras. Es decir, que
conservan los valores veritativos de los a. Dicho de modo vulgar, las
reglas de inferencia no pueden aportar algo radicalmente nuevo que no
esté contenido en los a.
Obsérvese que la completud, consistencia o nocontradicción,
independencia y decidibilidad de los a., se busca por demostraciones o
métodos mecánicos. No importa que de hecho la aritmética esté libre de
contradicciones. Todos estamos seguros de que lo está. Lo que se
pretende es establecer esta característica demostrativamente. No importa
que por tanteos consigamos probar o refutar todas las proposiciones con
que nos encontremos, sino que hace falta establecer un método que
garantice que todas las proposiciones son demostrables o refutables. De
hecho no hay tal método fuera de la lógica proposicional y el cálculo de
funciones inferiores. GSdel y otros han logrado la hazaña de demostrar
que la matemática y la teoría de los conjuntos no admiten un método de
decisión. Toda la problemática, por tanto, versa sobre la lógica (u otró
sistema axiomático); no está dentro de ella, es metalógica, no lógica.
Comentario. Algunas veces se presentan estudios lógicos
axiomáticos como sistemas puramente formales: es decir, sistemas que
carecen de interpretación y simplemente son el desarrollo de unas
reglas. El ajedrez, aparte de posibles interpretaciones imaginativas
como una guerra, es un sistema formal. El cálculo de The Laws of Thought,
de George Boole, puede interpretarse como lógica proposicional, lógica
de términos, una álgebra un poco especial o un cálculo de
probabilidades, pero también se puede prescindir de cualquier
interpretación. A nuestro modo de ver, esto es perfectamente legítimo
como ejercicio matemático, pero la lógica tiene que ver como decía la
Escolástica con relaciones de razón o como dirían algunos modernos con
relaciones de implicación que existen entre contenidos ideales. Por
tanto, la lógica, aunque es formal, siempre tiene una interpretación (v.
LóGICA FORMAL).
Por otra parte, el sistema axiomático es una disciplina muy útil.
Hace poner todo en claro: definiciones, términos primitivos y modos de
definir; conclusiones, primeros principios y modos de concluir. Sin
embargo, existe el peligro de suponer que lo que no es axiomatizable no
es cierto. En realidad más bien habría que decir que las áreas de la
ciencia aún no axiomatizadas son quizá las más vivas.
JAMES G. COLBERT, Jr.
BIBL.: I. M. BOCHENSKI, Métodos actuales del pensamiento, Madrid 1962; ARISTÓTELES, Segundos analíticos; R. DESCARTES, Discurso del método; A. N. WHITEHEAD y B. RUSSELL, Principia Mathematica, I, prefacio, Cambridge 1910; W. y M. KNEALE, The Derelopment of Logic, Oxford 1956; E. AGAZZI, Introduzione al problemi dell'assiomatica, Milán 1961.
Cortesía de Editorial Rialp. Gran Enciclopedia Rialp, 1991